Finanzmathematik

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Durch eine kurze Einführung in die Begriffe und die Finanzmathematik legen wir den Grundstein für das Verständnis der bevorstehenden Rechenmethoden. Wir werden jetzt Zinseszinsen und ähnliche Effekte in unsere Investitionsberechnungen einfließen lassen, was wir bei den "statischen Methoden" außer Acht gelassen hatten. Hierzu folgt eine kurze Rekapitulation des Begriffes Zinseszinsen: Sie treten dort auf, wo Zinsen entstehen, die wiederum verzinst werden.

Das Beispiel dazu lautete wie folgt: Wir legen Geld bei der Bank an und erhalten dafür Zinsen, die - erneut angelegt - Zinseszinsen erwirtschaften. Neben der Beräcksichtigung von Zinseszinsen werden wir in diesem Kapitel auch auf folgende Idee der "Relativität von Investitionen" eingehen: Das Geld, was man in eine Maschine investiert, könnte man ja auch anderweitig einsetzen. Zum Beispiel wäre die Anlage des Geldes bei der Bank zu einem festen Zinssatz denkbar.

Die Grafik zeigt einen solchen Geldbetrag, der sich über die Jahre vermehrt. Um sich in Anbetracht dieser Möglichkeit trotzdem für die Investition des Geldes in eine Maschine zu entscheiden muss diese mindestens die gleiche "Verzinsung" unseres eingesetzten Geldes garantieren, die wir auch bei der Bank erhalten könnten. Diesen Zinssatz, der einem also "in jedem Fall" sicher wäre, nennt man Kalkulationszinsfuß, und wir berücksichtigen ihn ab jetzt bei jeder Investitionsentscheidung. In der Wirtschaftspraxis kann man die Höhe eines solchen Kalkulationszinsfußes durch den herrschenden Zinssatz auf den Finanzmärkten, also beispielsweise durch die aktuellen Zinskonditionen bei den Banken erfahren. Wollen wir eine Investition durch Mischung aus eigenem und geliehenem Geld finanzieren, so ist der Kalkulationszinsfuß ebenfalls als Mischung der beiden Zinssätze zu berechnen. Der eine Zinssatz wäre dann jener, den wir "theoretisch" bei der Bank für die Anlage unseres eigenen Geldes erhalten würden und der andere ergäbe sich aus den Kreditzinsen für das geliehene Geld. Was gilt nun für den Fall, dass wir eine Investition nicht mit Eigen-, sondern mit Fremdkapital tätigen, also mit Geld, das wir uns als Kredit leihen? Dann muss die Verzinsung durch die Investition natürlich mindestens die Höhe der Kreditzinsen betragen. Sonst wäre die Investition logischer Weise nicht rentabel. Auf der Grafik zu sehen ist die Investition in eine Maschine zu einem Kreditzinssatz von 6 Prozent. Für 100 geliehene Euro müssen wir der Bank also 106 Euro zurückzahlen. Leider erwirtschaftet unsere Maschineninvestition dann aber nur 4 Prozent - wir bekommen für 100 investierte Euro also nur 104 zurück. Somit erwirtschaftet unsere Investition zwar einen "Überschuss", vorteilhaft ist sie für uns deshalb aber noch nicht. Erst wenn es uns gelingt, mindestens 106 Euro aus dieser Investition herauszuholen, fangen wir an, einen Vorteil durch die Investition zu haben.

Als weiteren geläufigen Begriff wollen wir die "Opportunitätskosten" kennen lernen. Würde man für einen bei der Bank angelegten Betrag 10.000 Euro Zinsen erhalten, eine andere Investition brächte aber nur 9.000 Euro, so spricht man hier von Opportunitätskosten der Investition in Höhe von 1.000 Euro. Opportunitätskosten sind per Definition diejenigen Kosten, die einen "entgangenen Nutzen aus einer nicht gewählten Handlungsalternative"* beschreiben. Mit Hilfe der folgenden finanzmathematischen Methode wollen wir unserem Ziel der "Realitätsnähe unserer Investitionsberechnungen" noch ein Stück näher kommen: Geld ist zeitlich gesehen nicht jederzeit gleich viel wert. Durch die Auf- und Abzinsungseffekte sind 1.000 Euro heute ein ganz anderer Betrag als 1.000 Euro in zehn Jahren.

Durch Aufzinsung "vermehrt" sich das Geld im Zeitverlauf durch den Zins- und Zinseszinseffekt, bei Abzinsung muss diese Vermehrung wieder "berichtigt" werden. Das heißt Geld, das heute zur Verfügung steht, ist später durch den Effekt der Zinseszinsen mehr Wert. Geld, was erst später zur Verfügung stehen wird, ist durch die bis dahin entgangenen Zinseszinsen - verglichen mit dem ersten Fall - weniger wert. Es gibt also einen Preis für Kapital. Deshalb ist es nicht ausreichend, bei der Betrachtung von Investitionen einfach alle Kosten und Rückflüsse gegenüber zu stellen. Dieser Einfluss des "Zeit" muss berücksichtigt werden, woraus sich die Notwendigkeit der dynamischen Investitionsrechnung ergibt. Um vergleichbare Werte zu erhalten rechnet man daher alle Beträge immer auf den Zeitpunkt zurück, an dem man die Anschaffungsausgabe der Investition getätigt, also z.B. den Kaufpreis für eine Maschine bezahlt hat. [-> auf t0]] Dieser Zeitpunkt wird allgemein "t0" genannt. Der Index, hier die tiefergestellte "0" bedeutet, dass es sich um den Anfangspunkt des Zeitstrahls einer Investition handelt. Die Länge [-> auf Ende des Zeitstrahls] des Zeitstrahls ergibt sich aus der Dauer unserer Investition. Beträgt diese beispielsweise 10 Jahre, so endet die Linie nach dem zehnten Jahr im Zeitpunkt "t10". Der aktuelle Wert aller Zahlungen zu einem zeitlich festgelegten Betrachtungszeitpunkt "t" heißt Barwert, der Wert am Ende der Investition bzw. am Ende des Betrachtungszeitraumes heißt Endwert. Mit i bezeichnet man den Zinssatz. Wir werden ihn im Folgenden immer als Dezimalzahl als Wert zwischen 0 und 1 angeben. Ein Zinssatz von 6 Prozent wäre also gleichbedeutend mit "i = 0,06".

Als weiterer Begriff ergibt sich der "Geldvermehrungsfaktor" "q": Legt man 100 Euro für ein Jahr zu 6 Prozent an, dann können wir den Faktor "q" aus dem Faktor "i" gewinnen, indem wir eine "1" addieren. "q" berechnen wir also durch i 1 = 1.06. Somit hätte man am Ende des Jahres 100 Euro * 1.06 = 106 Euro. Als letzte Größe finden wir in den Formeln "n", was einfach für die Laufzeit in Jahren, also für die Wiederholung dieses Vorgangs steht. Legen wir die 100 Euro für zwei Jahre zu 6% an, so erhalten wir am Ende folgende Summe: q hoch n * 100 Euro. Das sind in unserem Fall 1,06 (für q) hoch 2 (für 2 Jahre) multipliziert mit 100 Euro. Durch die Potenzierung mit "n" haben wir nun auch den Zinseszinseffekt berücksichtig, da die 106 Euro des ersten Jahres im zweiten Jahr wieder mit 1,06 Prozent verzinst werden.